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数式いじり

久しぶりにオイラーの贈り物を開いてみた(P42あたり)。

$\alpha=\frac{-b+sqrt{b^2-4ac}}{2a},\beta=\frac{-b-sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

のとき

$\alpha+\beta=-\frac{b}{a},\alpha\beta=\frac{c}{a}$

となるらしい。

$\alpha+\beta=\frac{-b+sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$

こっちは簡単。

$\alpha\beta=\frac{(-b)+(sqrt{b^2-4ac})}{2a}\frac{(-b)-(sqrt{b^2-4ac})}{2a}$

これは和と差の積ですね。

中3レベルか、、、

$=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{a}{c}$

ところで、

$(x-\alpha)(x-\beta)=0$

は

$x^2-x(\alpha+\beta)+\alpha\beta$

なので

$x^2-x(-\frac{b}{a})+\frac{c}{a}=ax^2+bx+c$

、、、元に戻った。

あーあとP26のパスカルの三角形とフィボナッチ数列の図の意味がやっとわかった。左に30度傾けて見れば良かったのか。

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from H2SO4 2007/04/22 (Sun) 11:36:36: ax^2+bx+c=0(a0)
と
a(x-α)(x-β)=0(a0)
の展開式
ax^2-a(α+β)x+aαβ=0
の係数比較をすると，
b=-a(α+β)
から
α+β=-b/a
c=aαβ
から
αβ=c/a
で，一般解を持ち出さなくてもできますよね．
（a=0だと一次方程式になってしまう＆a(x-α)(x-β)=0が常に成り立つ）

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